INTEGRAL TENTU

Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan
Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann. Materi
pembahasan terdahulu yakni tentang integral tak tentu dan notasi sigma akan kita gunakan
untuk mendefinisikan tentang integral tentu.
Pandangan sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b].ia boleh bernilai positif ataupun negative pada selang tersebut bahkan ia tidak perlu continue.


y

y = f(x)

a b x


Pandang suatu partisi P pada selang [ a,b ] yang dibagi menjadi n sub selang
( dalam hal ini diambil yang panjangnya sama walaupun hal ini tidaklah mutlak ), misal
a = < < <…< < = b dan andaikan Δ Pada setiap sub selang
[ , ] kita ambil suatu titik sembarang ( yang mungkin saja sebuah titik ujung); kita sebut sebagai titik sampel untuk selang bagian ke-i. sebagai contoh dari kontruksi ini diperlihatkan pada gambar di bawah ini dengan n = 6

Δ Δ Δ Δ Δ Δ

a=


Bentuk penjumlahan
= Δ
Kita sebut jumlah Riemann untuk f yang berpadanan dengan partisi p. dapat dilihat dalam gambar di bawah ini:
y
Δ =





a= x



Contoh soal
Hitung jumlah Riemann untuk f(x) = +1 pada selang [-1,2] menggunakan titk-titik pada partisi yang berjarak sama -1<-0,5< 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 dengan titk sampel berupa titik tengah selang bagian ke-i.

4 f(x) = x2 + 1
3
2
1
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x
-0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 1,75
Penyelesaian perhatikan gambar di atas.
Rp =
= f(x1) x1 + f(x2) x2 + f(x3) x3 + f(x4) x4 + f(x5) x5 + f(x6) x6
= f(-0,75)(-0,5 – (-1)) + f(-0,25) (0 – (-0,5)) + f(0,25) (0,5 – 0) + f(0,75) (1 – 0,5) + f(1,25)
(1,5 – 1) + f(1,75) (2 – 1,5)
= f(-0,75)(0,5)) + f(-0,25) (0,5) + f(0,25) (0,5) + f(0,75) (0,5) + f(1,25) (0,5) + f(1,75) (0,5)
= [ f(-0,75) + f(-0,25) + f(0,25) + f(0,75) + f(1,25) + f(1,75)] (0,5)
= [1,5625 + 1,0625 + 1,0625 + 1,5625 + 2,5625 + 4,0625] (0,5)
= 11,875 (0,5)
= 5,9375

Definisi
(integral tentu). Andaikan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup [a,b]. jika


Ada, kita katakana f adalah terintegralkan pada [a,b]. lebih lanjut , disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh



Secara umum menyatakan luas bertanda daerah yang terkurung di antara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b] yang berarti tanda positif dikaitkan dengan luas bagian-bagian yang berada diatas sumbu-x dan tanda negative untuk luas bagian-bagian yang berada dibawah sumbu-x
Secara simbolik
Seperti diperlihatkan dalam gambar
y


a b



Dalam definisi secara implisit menganggap bahwa a < b.kita hilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut

a > b
Contoh :
,
X dapat dikatakan peubah boneka (dummy variable)dalam lambang . Denagn ini x dapat diganti oleh huruf sembarang lain.seperti dibawah ini

Teorema A
(Teorema keintegralan). Jika f terbatas pada [a,b] dan ia continue disana kecuali pada sejumlah terhingga titik, maka f terintegral pada [a,b]. khususnya, jika f continue pada seluruh selang [a,b], maka ia terintegral pada [a,b]
Contoh :
Hitung
Penyelesaian
Diketahui partisi selang [-1,3] menjadi n selang bagian yang sama, masing-masing sepanjang = dalam tiap selang [ ], pilih berupa titik ujung kanan, sehingga =
Maka
= -1 + = -1 + i
Dan f( ) = 2 - 8 = 2 – 8 =
= - 6 -
Akibatnya,
=
=
=
=
=
Dapat disimpulkan bahwa
=
=
=









10
8 y = 2x2 - 8
6 4 2 A2

-1 -2 1 2 3
-4
-6 A1




2. Pendahuluan luas
Sebagai contoh untuk linkaran berjari-jari 1, pandang polygon dalam beraturan P1, P2, P3,…dengan 4 sisi, 8 sisi, 16 sisi,…luas lingkaran adalah limit untuk n dari luas-luas Pn. jadi, jika A(F) menyatakan luas suatu daerah F, maka A ( lingkaran ) = ,seperti gambar dibawah ini :





P1 P2 P3

Archimedes melanjutkan lebihjauh, dengan memandang juga polygon-poligon luar T1, T2, T3,… dia memperlihatkan nilai yang sama untuk luas lingkaran berjari-jari 1 dengan polygon luar atau dalam.





P1 P2 P3



4 Luas menurut polygon-poligon dalam
3 y=f(x) = x2 Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh parabola
2 y = f(x) = x2, sumbu-x, dan garis tegak x =2.
1 R buatlah selang [0,2] menjadi n selang bagian,
1 2 masing-masing dengan panjang = 2/n, menggunakan titik n + 1.
0 = x0 < x1 < x2 <. . . < xn-1 < xn = 2
0 2
x0 x1 x2 xn-1 xn

jadi
x0 = 0
x1 = =
x2 = 2 . =

Xi = i =

Xn-1 =(n-1). =
Xn = n . = n (
Luas segi empat dengan alas [ xi-1,xi ] dan tinggi f( xi-1) adalah f(xi-1) . luas A(Rn) dapat diitung dengan menjumlahkan luas semua segi empat.



y = f(x) = x2
f(xi-1)
x(i-1) xi

Rn
luas = f(xi-1)

x0 x1 x2 xn-1 xn
Polygon dalam
Luas A(Rn) dapat dihitung,
A (Rn) = f(x0) x + f(x1) x + f(x2) x+ . . . + f(xn - 1) x
f(xi) x = x2 x= . = i2
jadi,
A(Rn) =
= [12 + 22 + . . .+ (n-1)2 ]
=
=
=
= - +
Kesimpulan A(R) =
Luas menurut polygon-poligon luar



y = f(x) = x2
f(xi-1)
x(i-1) xi

Rn
luas = f(xi-1)

x0 x1 x2 xn-1 xn
Polygon luar
Luas daerah A(Sn) dihitung secara analog dengan perhitungan A(Rn).
A(Sn) = f(x0) x + f(x1) x + f(x2) x+ . . . + f(xn) x
Seperti sebelumnya f(xi) x = x2 x= i2
A(Sn) =
= [12 + 22 + . . .+ (n)2 ]
=
=
=
= + +
Kesimpulan
A(R) =

3. Teorema dasar kalkulus
Andaikan f kontinu (kerena terintergalkan) pada [a,b] dan andaikan F sembarang anti turunan dari f disana. Maka

Bukti Andaikan P: a=xo < x1 < x2 <. . . < xn-1 < xn = b adalah partisi sembarang dari [a,b]. maka akal “kurangkan dan tambahkan”yang baku memberikan.
F(b) - F(a) = F(xn) - F(xn-1) + F(xn-1) - F(xn-2) + . . . + F(x1) - F(x0)
(xi) – F(xi-1)]
Menurut Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan yang ditetapkan pada F pada selang [xi-1 –xi],

F(xi) – F(xi-1) = F’(xi)(xi –xi-1)=f(xi) xi

Untuk suatu pilihan xi dalam selang buka (xi-1,xi). Jadi,

F(b) - F(a) = (xi) xi

Pada ruas kiri kita mempunyai sebuah konstanta;pada ruas kanan kita mempunyai jumlah Reimenn untuk f pada [a,b]. bilamana kedua ruas diambil limitnya untuk|P| maka diperoleh
F(b) - F(a) = xi =





Contoh soal
1. 2 dx =
=
= - = = 39
2.

3.
= (-3 cos )-(-3 cos 0)
= 3 + 3
= 6
4.
Andaikan u = x2 + x; maka du = (2x + 1)dx.
Sehingga
(2x + 1)dx = du = + C
= + C
Karena itu, menurut Teorema Dasar Kalkulus,
(2x + 1)dx = [ + C
= [ (20 + C] – [0 + C]
= (20 ≈ 59,63
Perhatikan bahwa C dari integral taktentu tercoret, yang akan selalu akan terjadi dalam integral tentu. Itulah sebabnya mengapa dalam pernyataan Teorema Dasar kita dapat menggunakan istilah sembarang anti turunan. Khususnya, kita selalu boleh memilih C = 0 dalam menerapkan Teorema Dasar.





4. Sifat – sifat integral tertentu
Teorma 4.1 sifat perbandingan
Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan jika f(x) g(x) untuk semua x dalam [a,b], maka

Bukti Misalkan P: a=xo < x1 < x2 <. . . < xn-1 < xn = b adalah partisi sembarang dari [a,b], dan untuk tiap-tiap i anggaplah , sebagai titik contoh pada selang bagian ke-I [xi-1, xi].
kesimpulan
f( g (
f( g(



Teorema 4.2 sifat ketebatasan
Jika f terintegrasikan pada selang [a,b] dan m M untuk semua x dalam [a,b], maka
M(b-a)
Bukti

M Perhatikan gambar
m(b-a) adalah luas paling bawah,
m persegi panjang kecil, M(b-a) adalah
luas persegi panjang besar, dan
a b x adalah luas dibawah kurva.

Untuk membuktikan ketaksamaan diruas kanan, anggaplah g(x) = M untuk semua x dalam [a,b]. maka manurut reorema4.1,

Bagaimanapun sama dengan luas persegi panjang dengan lebar b – a dan tinggi M. jadi,

Teorema 4.3 sifat penambahan selang
Jika f terintergralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b, c, maka

Bagaimana pun urutan dari a, b dan c.
Misalnya,

Teorema 4.4 kelinearan integral tentu
Andakan bahwa f dan g terintegralkan pada selang [a,b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f + g aadalah terintegralkan dan : (i)
(ii)
Dan akibatnya
(iii)
Bukti pembuktian dari (i) dan (ii) tergantung pada kelinearan dan sifat-sifat limit. Perhatikan (ii)
=
=
=
Bagaimana pun menyusul dari (i) dan (ii) dangan menuliskan f(x) – g(x) sebagai f(x) + (-1)g(x).
Contoh
=
=4 - 6
=4 - 6 = -12
Teorema 4.5 pendiferensial integral tentu
Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan x, titik (variabel) dalam (a,b). maka
Dx
Teorema 4.6 nilai rata-rata untuk integral
Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat suatu bilanga c antara a dan b sedemikian sehingga

Adapun sifat-sifat integral tentu yaitu:
1. Jika f adalah fungsi konstan pada selang (a,b ), maka f(x) = k, dengan k adalah konstanta, maka :

2. Jika f(x) ≥ g(x) pada selang (a,b ), maka
3. Jika f(x) ≥ g(x) pada selang (a,b ), maka
4. Jika f(x) ≤ g(x) pada selang (a,b ), maka