OPERASI-OPERASI DALAM HIMPUNAN

HIMPUNAN KOSONG ( Ø )

Suatu syarat kenggotan dapat menentukan himpunan yang tidak mempunyai anggota, yaitu himpunan kosong, dengan notasi Ø. Contohnya, himmpunan orang-otrang berkepala tiga. Dua himpunan kosong Ø1 dan Ø2 adalh sama, sebab kalimat x ∈ Ø1 -> x ∈ Ø2 bernilai benar , karena antesedennya salah. Demikian juga x ∈ Ø -> x ∈ Ø1 bernilai benar: menurut definisi dari kesamaan dua himpunan maka Ø1 = Ø2. Maka dari itu sekarang dapat didefinisikan himpunan kosong f sebagai berikut:
DEF III.3. Himpunan {x|x≠x} disebut himpunan kosong. Lambangnya adalah Ø .
TEO. 3.1 Himpunan kosong θ adalh himpunan bagian dari setiap himpunan.
Bukti . Ambil himpunan sembarang A. Andaikan Ø bukan himpunan bagian dari A, yaitu θ ≠ A. Maka ada x dengan x ∈ θ dan x ≠ A. Kalimat terkhir pasti salah, karena θ tidak mempunyai anggota. Akhirnya pengandaian harus diingkari dan terbukti θ ≠ A. Karena A sembarang, maka f menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan.
Dengan menggunakan definisi kita tentang implikasi material maka bukti berjalan demikian. Untuk menyimpulkan Ø ≤ A harus dibuktikan benarnya kalimat “x ∈ Ø -> x ∈ A”. Tapi hal ini memang demikian karena x ∈ Ø bernilai salah, pasti bernilai benar. Sekarang didefinisikan beberapa beberapa operasi pada himpunan.

IRISAN HIMPUNAN (  )

Definisi : Irisan atau interseksi dari dua himpunan A dan B, dengan notasi A  B dibaca A irisan B , didefinisikan sebagai himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua anggota yang sekaligus berada dalam A maupun dalam B.

A  B = { x | x ∈ A & x ∈ B}

Dalam diagram di samping ini, bagian yang diarsir adalah A  B. Apabila A = {2, 3, 5} sedangkan B = {3, 7} maka A  B = { 3 }
Apabila A = {x|0 < x < 3} dan B = {x| 1 < x ≤ 2} maka A  B = {x|1 < x ≤ 2}. apabila A  B = Ø maka A dan B disebut saling asing.
Perhatikan A  B = B  A. Karena untuk setiap A berlaku Ø  A = A  Ø = Ø, maka Ø menurut definisi di atas asing dengan setiap himpunan. Karena Ø ≤ A untuk setiap A maka didapat: Himpunan kosong Ø merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan dan sekaligus asing dengan setiap himpunan.

Contoh :
Jika A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {1, 3, 5, 7, 9}, maka:
A  B = {1, 3, 5}
Jika M = {p, a, n, j, e, r} dan N= {j, e, r, a}, maka:
M  N = {j, e, r, a} = N

GABUNGAN (  )

Definisi : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B(ditulis A  B dan dibaca A gabungan B) adalah himpunan dari semua anggota himpunan A atau himpunan B.

Dapat ditulis sebagai berikut.
A  B = { x | x ∈ A  x ∈ B }

Contoh :
a) Jika A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka:
A  B = {1,2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
b) Jika P = {a, n, g, l, o, s} dan Q = {l, o, g, a, s}, maka:
P  Q = {a, n, g, l, o, s} = P

Dari definisi gabungan dua himpunan tersebut dan berdasarkan sifat komutatif disjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa operasi gabungan pada himpunan-himpunan bersifat komutatif, yaitu:
A  B = B  A
Demikian pula, dengan memperhatikan definisi gabungan tersebut dan mengingat sifat asosiatif disjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa gabungan pada himpunan-himpunan juga bersifat asosiatif yang ditunjukan sebagai berikut.
( A  B )  C = {x | x ∈ ( A  B )  x ∈ C}
= {x | (x ∈ A  x ∈ B)  x ∈ C}
= {x | x ∈ A  (x ∈ B  x ∈ C)} sifat asosiatif disjungsi
= {x | x ∈ A  x ∈ (B  C)}
= A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C) sifat asosiatif gabungan himpunan.

Dari definisi gabungan itu dapat pula disimpulkan bahwa baik himpunan A maupun himpunan B masing-masing termuat dalam A  B, yaitu :
A  A  B dan B  A  B

SELISIH HIMPUNAN

Definisi : Himpunan A dikurangi himpunan B ( ditulis A – B dan dibaca “A kurang B”) adalah himpunan dari anggota-anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota B.
Dapat ditulis sebagai berikut.
A – B = {x | x ∈ A & x ∉ B}
Contoh :
a) Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {4, 5, 6, 7, 8}, maka:
A – B = {1, 2, 3} dan B – A = {7, 8}
b) Misalkan P = {p, e, r, h, u, t, a, n, i} dan Q = {h, a, n, t, u}, maka:
P – Q = {p, e, r, i} dan B – A = Ø
c) Apabila M = {k, a, r, t, u} dan N = {p, i, l, o, s, e,m}, maka:
M – N = Ø dan N – M = Ø

KOMPLEMEN HIMPUNAN

Definisi : Selisih dari semesta S dengan himpunan A , yaitu S – H, disebut komplemen dari A, dengan notasi Ac. Jadi Ac terdiri atas semua elemen dari semesta S yang tidah berada dalam A.
Dapat ditulis sebagai berikut.
Ac = {x|x ∈ S & x ∉ A}

Contoh :
a) Apabila semesta S = {1, 2, 3, 4, 5} sedangkan H = {2, 4} dan K = {2, 3, 5} maka:
H  K = {2}, H  K = {2, 3, 4, 5}, H – K = {4}, K – H = {3, 5}, maka:
Hc = {1, 3, 5} dan Kc = {1, 4}.

b) Misalkan S = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 10} sebagai himpunan semesta.
Jika A = {1, 2, 3, 4, 5}, maka: Ac = {6, 7, 8, 9, 10}
Jika B = {1, 3, 5, 7, 9}, maka: Bc = {2, 4, 6, 8, 10}
Jika K = {1, 5, 10}, maka: Kc = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
Jilka L = Ø, maka: Lc = S.

c) Misalkan S = {x|x bilangan bulat} sebai himpunan semesta.
Jika A = {x | x bilangan asli}, maka: Ac = {x|x bilangan bulat tidak positif}.
Jika P = {2n | n bilangan bulat}, maka: Pc = {2n + 1| n bilangan bulat}.

RELASI INKLUSI ( Himpunan Bagian )

Definisi :himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B ( ditulis A ⊂ B ), jika setiap anggota A merupakan anggota B.
A ⊂ B dibaca “ A termuat dalam B ” yang sama artinya dengan “ B memuat A “ yangdiberi symbol dengan “ B ⊃ A “( B is a surperset of A ). Apabila A bukan himpunan bagian dari B, atau A tidak termuat dalam B, disimbolkan dengan “ A ⊄ B”.

Contoh :
Misalkan X = { a, i, o, u, e }, yaitu himpunan semua vokal dalam abjad Latin dan Y = {a, b, c, d,. . . z }, yaitu himpunan semua abjad Latin, maka X ⊂ Y. Dan jika Z adalah semua konsonan dalam abjad Latin, maka Z ⊂ Y pula.
Apabila A = {x l x bilangan asli} dan T ={x l x bilangan prima}, maka T ⊂ A. Dan jika R = {x l x bilangan bulat}, maka A ⊂ R dan T ⊂ R

Jawaban latihan
Diketahui S ={ p, a, r,e,h,i,y,u,n,g,o,k} sebagai himpunan semesta
P ={p,a,r,n,o}
T ={k,a,r,u,n,g}
M ={p,i,r,a,n,g}
P ∩ T = {a,r,n}
P ∩ M = {p,r,a,n}
P ∪ M = {p,i,r,a,n,g,o}
T ∪ M = {k,a,r,u,n,g,p,i}
P ∩ (T ∪ M) = {p,a,r,n}
(P ∩ T) ∪M = {p,i,r,a,n,g}
Pc ∪ Mc = {e,h,i,y,u,g,p,i}
Pc ∪ Mc = {e,h,i,y,u,g,k,o}
Tc ∩ Mc = {e,h,y,u,o}
P – T = {p,o}
M – T = {p,i}
T ∩ Mc = {k,u}

Diketahui A = { x l x bilangan aslim} sebagai himpunan semesta
G = { x l x bilangan asli}
T = { 3x l x bilangan asli}
E = { 4x l x bilangan asli}
Gc = {2x-1 l x bilangan asli}
G ∩ T = {6x l x bilangan asli}
T ∩ E = {12x l x bilangan asli}
G ∩ E = { 4x l x bilangan asli}
G ∪ E = { 2x l x bilangan asli}
G - E = {4x-2 l x bilangan asli}
E – G = ∅
A - Tc = {3x lx bilangan asli}
A - Ec = { 4x l x bilangan asli}

Diketahui S merupakan himpunan semesta dengan himpunan A dan B.
A // A - B
B // A - B
A // A B
B ⊂ A ∪ B
A – B = A ∩ B
A ∩ B ⊃ A ∪ B
A ∩ B = B - Ac
A – B ⊂ BC

a. Ac – Bc = B - A
Ac = B
Bc = A
Jadi terbukti bahwa Ac – Bc = B- A
b. A ⊂ B⟹A B ∪ (B – A ) = B
A B berarti juga Ac B
Jadi A dan Ac merupakan bagian dari B
Untuk B ∪ (B – A ) =A ∪ Ac
= B
Jadi terbukti bahwa A ⊂ B⟹A B ∪ (B – A ) = B

a. Jika A ∩ B = A ∩ C maka B = C ( SALAH )
contoh : A = { 1,2,3,4,5}
B = { 2,4,6,7}
C = { 0,2,4,6}
A ∩ B = A ∩ C = {2,4}
Tapi B ≠ C
b. jika A = B maka A ∩ C = B ∩ C ( BENAR)
c. jika A ∩ B A ∩ C maka B C ( BENAR)
d. jika A ⊂ B maka A ∩ B ⊂ A ∩ C( BENAR)
e. jika A ∪ B = AC maka B = C( BENAR)
f. jika A ∪ B ⊂ A ∪ C maka B ⊂ C ( BENAR)
g. jika A - B = A – C maka B = C( BENAR)
h. jika A – B ⊂ A –C maka B ⊂ C( BENAR)



Soal dan penyelesaianya
Soal untuk no 1 dan no 2
Misalkan W = { k,a,l,i,j,u,n,g,b,e,r,o } sebagai himpunan semesta, X = { i,l,,u,n }, Z = {j,o,k,b,l,a,n}, untuk soal 1 dan 2
Maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah...
Xc – Z = {g,u,e,r}
W ∩ X = { j,u,k,a,n}
X ∪ Z = { k,a,n,g,b,e,r,o}
W – Xc = { u,n,a,k,g}

Nilai Xc ∪ Zc adalah....
j,a,l,n,u,g,b,r,
n,j,b,r,o,a,k,e
k,a,j,i,g,b,e,r,u,o
k,b,n,g,i,k,o

Diagram Venn








Pernyataan dibawah ini yang benar,kecuali......
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17}
B = {4,6,9,11,13,16,17}, A = {3,8,12,13,15,16,17}
A ∩ B = {13,16,17}
A ∪ B ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17}

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, sebagai himpunan semesta, P = {2,4,5,7,8}, Q = {1,3,5,7,9}, R = { 4,6,8,}, maka (Pc – R) ∪ (P ∩ Q) adalah....
{ 1,3,4,6,7,8,9}
{1,3,5,7,9,10}
{3,4,5,6,7,8,9,10}
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}



Penyelesaiannya:

Diketahui W = { k,a,l,i,j,u,n,g,b,e,r,o }
X = { i,l,u,n }
Z = {j,o,k,b,l,a,n}
Jadi Xc = {k,a,j,g,b,e,r,o}
Xc – Z = {g,u,e,r, }
Jawaban : A

Diketahui W = { k,a,l,i,j,u,n,g,b,e,r,o }
X = { i,l,u,n }
Z = {j,o,k,b,l,a,n}
Xc = {k,a,j,g,b,e,r,o}
Zc = {i,g,r,e,u}
Xc ∪ Zc = {k,a,j,i,g,b,e,r,u,o}
Jawaban : C

Jawaban : D, sudah jelas

Diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
P = {2,4,5,7,8}
Q = {1,3,5,7,9}
R = { 4,6,8,}
Pc = {1,3,6,9,10}
Pc – R = {1,3,9,10}
P ∩ Q = {5,7}
(Pc – R) ∪ (P ∩ Q) = {1,3,5,7,9,10}
Jawaban : B